Hacker换一种表示，哪些事实才会显出来？
均值、频谱和几何图各自把某些结构推到眼前，也会藏起别的东西。不要只问哪张图直观，先问想比较的是什么。
本文的问题 · 6
全球进步与国内财富集中可以同时成立
Rosling 展示国家健康和收入均值的长期改善，同时明确这些均值掩盖国内差距；美国财富分配视频把镜头缩至一国内部的财富份额，揭示平均图景看不到的集中。
对照原文与时间戳 · 2
1% of America has 40% of all the nation's wealthInequalities within countries these bubbles show country averages, but I can split them财富存量与人均收入、寿命是不同指标，两个视频的数据时期也不同，不能拿份额直接反驳全球健康进步。
可视化既呈现数据，也塑造理解
Matplotlib 演讲把色图称作数据与大脑之间的接口；Rosling 用动态气泡图让国家长期变化可见；二者提示可视编码决定观众能察觉哪些模式。
对照原文与时间戳 · 2
an interface between your data and your brainhaving the data is not enoughRosling 同时提醒国家平均值掩盖内部差距；动画和色彩都不能替代对数据定义及分布的审视。
改变表示，可以直接看见特定问题的解
Kay以画圆和数据结构说明恰当表示能承担推理工作；Strang给出具体例子：三平面交点难以看清，但把同一方程改写为列向量组合后，可看出右端就是第三列，因此系数为(0,0,1)。这是表示改变认知成本的实例。
对照原文与时间戳 · 2
choose the appropriate
data structure before you start tinkering
around with the algorithm.that right-hand
side that I'm trying to get is actually one
of these columns.Strang明确说此例经过特意选择；列视图也不总能肉眼读出解，一般求解仍需要消元等方法。此比较不声称列视图普遍优于行视图。
每个像素都被碰到，就等于填满了平面吗？
把希尔伯特折线画得足够密，它会经过屏幕上的每个格子。可放大一个格子，折线之外仍有空白。数学上填满正方形的曲线是整个序列的极限，不是其中最精细的那张图。无限和的讲解给了另一种检查直觉的方法：只说部分和「靠近过」1 不够；给定再小的误差，也要能找到此后一直留在误差内的位置。两种极限的对象不同，作用都是把「越来越像」换成可检验的条件。
原文与时间戳 · 2
The output of the Hilbert curve function evaluated on this input is just defined to be the limit of those points.no matter how small the distance you choose, at some point down the list, all the numbers start falling within that distance of x.海岸线的方格计数则问一个经验问题：换一种格子大小，被碰到的格子数怎样变？在对数坐标上测得的斜率可能随尺度区间改变。只拿一段近似直线，不能证明真实海岸在任意细的尺度上都服从同一规律。下次看到一张细节丰富的图，可以先问：这是一个有限样本，一次尺度比较，还是一个关于极限的命题？
原文与时间戳 · 1
this dimension, at least as I've described it so far using the box counting method, can sometimes change based on how far zoomed in you are.先理解频率分量，再区分采样与量化
傅里叶变换演示如何从混合信号中分离频率成分；数字音频演示强调采样与量化是不同步骤；连读可避免把频谱分析、采样重建和量化误差混为一谈。
对照原文与时间戳 · 2
It pulls out the original frequencies from their jumbled up sumsthe sampling step is perfect it loses nothing两支视频的教学重点不同；傅里叶变换本身并不保证任意采样信号都能无损重建。
精度是否足够取决于误差落在哪里
模拟计算视频以神经网络可容忍小幅误差解释低功耗推理机会；数字音频视频则把量化误差细分为噪声与输入相关失真，并用dither改变误差性质。两者共同要求按任务评估误差，而非只比较位数。
对照原文与时间戳 · 2
neural networks don't need the precision of digital computers.dither is specially constructed noise that substitutes for the noise produced by simple quantization模拟推理误差与音频量化噪声不是同一机制，不能把音频抖动方案直接套到神经网络。
从套用面积公式走向可迁移的推导模型
Mazur主张学习应形成能迁移到新情境的心智模型；微积分视频以圆环近似、矩形求和与曲线下面积重建圆面积公式，使一次计算转化为可迁移的积分思路。
对照原文与时间戳 · 2
build mental models that you can use in other contextsthe sum, thought of as the aggregate area of those rectangles, approaches the area under the graph.视频推导不是同伴教学实验，不能由此推断具有同样的课堂学习增益。
读完再想一步
把同一批数据画两次。两张图各能回答什么，又各自不能回答什么？