HackerVisualizing the 4d numbers Quaternions
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延伸阅读 1
字幕解读
视频借助低维世界逐步解释单位四元数的乘法。立体投影先把单位圆送到直线、单位球面送到平面，再把四维空间中的单位超球面显示在三维中。追随基元素的运动会看到，左乘单位四元数让两个互相垂直的平面同步旋转。由此可以理解乘法表、顺序差异，以及为何表示三维姿态还需要进一步的共轭操作。
创作者仓库发布的英文字幕 ↗ · 引文按字幕原文展示，可点时间戳回看片段。
内容要点
- 立体投影中位置远近各异的点都可代表单位四元数，屏幕距离不能直接当作四维模长。
- 单位四元数左乘可理解为四维中两个互相垂直平面上的同步旋转。
- 四元数乘法依赖次序，交换 i 与 j 会把积从 k 变为 −k。
视频章节 4
- 复数乘法作为空间上的作用
- 用立体投影观察旋转
- 单位四元数的四维几何
- 同步双旋转与乘法顺序
具体观点与证据 4
立体投影中位置远近各异的点都可代表单位四元数，屏幕距离不能直接当作四维模长。
图上只投影单位超球面，投影极点按无穷远点处理。
everything you're looking at really has the same magnitude单位四元数左乘可理解为四维中两个互相垂直平面上的同步旋转。
此处是单位四元数左乘作用；三维向量旋转另外使用共轭。
two separate 2D rotations, happening perpendicular to and in sync with each other四元数乘法依赖次序，交换 i 与 j 会把积从 k 变为 −k。
这说明一般不满足交换律；某些特定元素仍可交换。
One thing worth noticing here is that order of multiplication matters.知道固定四元数左乘对 1、i、j、k 四个基元素的作用，就能由线性性得到对任意四元数的作用。
固定左乘因子后，映射在右侧输入上为实线性变换。
knowing what our transformation does to them gives us the full information about what it does to all of space解读边界
重点是四元数左乘在四维中的几何作用。三维向量旋转的共轭公式留给续集。